Giải Câu hỏi trang 83 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Một hình vuông nội tiếp đường tròn $(O)$ thì bốn đỉnh của nó đều nằm trên $(O)$, và tâm của hình vuông trùng với tâm $O$ của đường tròn (vì hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên giao điểm của chúng cách đều bốn đỉnh — đó chính là tâm $O$).

Dựng và đếm. Giả sử hình vuông $ABCD$ nội tiếp $(O)$ có một đỉnh là $A$.

a) Vì tâm hình vuông là $O$ nên đường chéo $AC$ đi qua $O$, tức $AC$ là một đường kính. Do đó đỉnh $C$ đối diện với $A$ chính là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ (điểm kia của đường kính qua $A$) — $C$ được xác định duy nhất.

b) Đường chéo còn lại $BD$ cũng là một đường kính, đi qua $O$ và vuông góc với $AC$ (hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau). Qua $O$ chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với $AC$; đường này cắt $(O)$ tại hai điểm $B$ và $D$ xác định duy nhất.

c) Khi đã có $A$ thì $C$, $B$, $D$ đều bị xác định duy nhất, nên hình vuông $ABCD$ là duy nhất.

Kiểm tra lại. $AC$ và $BD$ là hai đường kính vuông góc nên $AC = BD$ và cắt nhau tại trung điểm $O$ $\Rightarrow$ $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc, tức là hình vuông. Vậy cách dựng cho đúng một hình vuông thỏa mãn.

Kết luận. Với điểm $A$ cho trước trên $(O)$, có đúng một hình vuông nhận $A$ làm đỉnh và nội tiếp $(O)$.

Đáp số