Giải Hoạt động 4 trang 83 SGK Toán 9

Lời giải

a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AC$ và $BD$:

- *bằng nhau*: $AC = BD$;
- *cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường*: điểm $M$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.

Do $M$ là trung điểm của $AC$ nên $MA = MC = \dfrac{AC}{2}$.

Do $M$ là trung điểm của $BD$ nên $MB = MD = \dfrac{BD}{2}$.

Mà $AC = BD$ nên $\dfrac{AC}{2} = \dfrac{BD}{2}$, suy ra:
$$MA = MB = MC = MD.$$

Vậy điểm $M$ cách đều bốn đỉnh $A,\,B,\,C,\,D$ của hình chữ nhật (đpcm).

b) Theo ý a), bốn đỉnh $A,\,B,\,C,\,D$ đều cách điểm $M$ một khoảng bằng nhau là
$$MA = MB = MC = MD = \dfrac{AC}{2}.$$

Do đó bốn đỉnh này cùng nằm trên một đường tròn tâm $M$, bán kính
$$R = \dfrac{AC}{2},$$
tức là đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo của hình chữ nhật.

Vậy hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật (đpcm).

Đáp số