Giải Luyện tập 1 trang 82 SGK Toán 9

Lời giải

a) Vì $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $BE \perp AC$ tại $E$, suy ra $\widehat{BEC} = 90^\circ$.

Vì $CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $CF \perp AB$ tại $F$, suy ra $\widehat{BFC} = 90^\circ$.

Xét hai điểm $E$ và $F$: ta có $\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^\circ$, tức là hai điểm $E$, $F$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc vuông.

Do đó $E$ và $F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Vậy bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn, nghĩa là tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$.

Đường tròn này có đường kính là $BC$ nên tâm của nó là trung điểm của cạnh $BC$ (đpcm).

b) Trong tam giác $ABC$ có:
$$\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 40^\circ.$$

Tứ giác $BFEC$ (với $F$ trên $AB$, $E$ trên $AC$) nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm $BC$.

*Tính $\widehat{BFE}$:* Trong tứ giác nội tiếp $BFEC$, hai góc đối $\widehat{BFE}$ và $\widehat{BCE}$ bù nhau. Mà $E$ nằm trên cạnh $AC$ nên $\widehat{BCE} = \widehat{BCA} = \widehat{C} = 80^\circ$. Do đó:
$$\widehat{BFE} = 180^\circ - \widehat{BCE} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ.$$

*Tính $\widehat{CEF}$:* Trong tứ giác nội tiếp $BFEC$, hai góc đối $\widehat{CEF}$ và $\widehat{CBF}$ bù nhau. Mà $F$ nằm trên cạnh $AB$ nên $\widehat{CBF} = \widehat{CBA} = \widehat{B} = 60^\circ$. Do đó:
$$\widehat{CEF} = 180^\circ - \widehat{CBF} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.$$

Vậy $\widehat{BFE} = 100^\circ$ và $\widehat{CEF} = 120^\circ$.

Đáp số