Giải Hoạt động 1 trang 81 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Ta cần chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cách đều điểm $O$ (trung điểm của $BD$), tức là $OA = OB = OC = OD$. Khi đó bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm $O$.

a) Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$.

Vì $\widehat{A} = 90^\circ$ nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$, có cạnh huyền là $BD$.

Ta đã biết: *trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.*

Vì $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BD$ nên $AO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó:
$$OA = \frac{1}{2}BD.$$

b) Xét tam giác $CBD$ vuông tại $C$.

Vì $\widehat{C} = 90^\circ$ nên tam giác $CBD$ vuông tại $C$, có cạnh huyền là $BD$.

Tương tự, $O$ là trung điểm cạnh huyền $BD$ nên $CO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó:
$$OC = \frac{1}{2}BD.$$

c) Kết luận.

Mặt khác, do $O$ là trung điểm của $BD$ nên:
$$OB = OD = \frac{1}{2}BD.$$

Từ các kết quả trên suy ra:
$$OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}BD.$$

Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng cách điểm $O$ một khoảng bằng $\dfrac{1}{2}BD$, nghĩa là bốn đỉnh của tứ giác $ABCD$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$ (trung điểm của $BD$), bán kính $R = \dfrac{1}{2}BD$ (đpcm).

Đáp số