Giải Bài 9.16 trang 80 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích bài toán.

Gọi khu vui chơi là tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB=BC=CA=60$ m. Ta cần tìm một điểm $O$ nằm trong tam giác sao cho mọi điểm của tam giác đều cách $O$ không quá $50$ m (tầm phát sóng tối đa).

Nếu đặt bộ phát sóng tại điểm $O$ thì vùng phủ sóng là hình tròn tâm $O$ bán kính $50$ m. Vậy yêu cầu là: tìm $O$ để cả tam giác $ABC$ nằm gọn trong hình tròn tâm $O$ bán kính $50$ m, tức khoảng cách từ $O$ đến điểm xa nhất của tam giác không vượt quá $50$ m.

Chọn vị trí đặt bộ phát sóng.

Ta chọn $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (giao điểm ba đường trung trực). Khi đó $O$ cách đều ba đỉnh:
$$OA=OB=OC=R$$
với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ đi qua ba đỉnh và chứa toàn bộ tam giác, nên điểm xa $O$ nhất trong tam giác chính là các đỉnh $A,B,C$. Do đó chỉ cần so sánh $R$ với $50$ m.

Tính bán kính $R$.

Vì tam giác đều nên tâm $O$ cũng là trọng tâm. Kẻ đường cao $AH$ (đồng thời là trung tuyến) xuống cạnh $BC$, ta có:
$$AH=\dfrac{60\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}\ (\text{m}).$$
($AH$ là đường cao tam giác đều cạnh $60$: $AH=\sqrt{60^2-30^2}=\sqrt{3600-900}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}$.)

Tâm $O$ nằm trên $AH$ và $OA=\dfrac{2}{3}AH$ (tính chất trọng tâm), nên:
$$R=OA=\dfrac{2}{3}\cdot 30\sqrt{3}=20\sqrt{3}\approx 34{,}64\ (\text{m}).$$

Kết luận.

Vì $R=20\sqrt{3}\approx 34{,}64\ \text{m} < 50\ \text{m}$ nên khi đặt bộ phát sóng tại tâm $O$ của khu vui chơi, mọi điểm trong tam giác đều cách $O$ không quá $34{,}64$ m $< 50$ m, tức là đều bắt được sóng.

Vậy có thể tìm được vị trí đặt bộ phát sóng thỏa mãn yêu cầu: đặt tại tâm (trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp) của khu vui chơi hình tam giác đều.

Đáp số