Giải Bài 9.15 trang 80 SGK Toán 9

Lời giải

a) Tính bán kính $R$ của đường tròn $(O)$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp chia đường tròn thành ba cung bằng nhau, do đó:
$$\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COA} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ.$$

Xét tam giác $OBC$ cân tại $O$ ($OB = OC = R$) có $\widehat{BOC} = 120^\circ$. Kẻ $OH \perp BC$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm của $BC$, suy ra:
$$HB = \frac{BC}{2} = \frac{3}{2} \ (\text{cm}) \quad \text{và} \quad \widehat{BOH} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.$$

Trong tam giác vuông $OHB$, ta có:
$$\sin \widehat{BOH} = \frac{HB}{OB} \Rightarrow R = OB = \frac{HB}{\sin 60^\circ} = \frac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \ (\text{cm}).$$

Vậy bán kính của đường tròn $(O)$ là $R = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ cm.

b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung $BC$ và cung nhỏ $BC$.

Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt tròn $OBC$ (ứng với cung nhỏ $BC$) trừ đi diện tích tam giác $OBC$.

Diện tích hình quạt tròn $OBC$ có bán kính $R = \sqrt{3}$ cm, số đo cung $n = 120^\circ$ là:
$$S_{\text{quạt}} = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 3 \cdot 120}{360} = \pi \ (\text{cm}^2).$$

Trong tam giác vuông $OHB$, ta có:
$$OH = OB \cdot \cos \widehat{BOH} = \sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ (\text{cm}).$$

Diện tích tam giác $OBC$ là:
$$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \ (\text{cm}^2).$$

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung $BC$ và cung nhỏ $BC$ là:
$$S = S_{\text{quạt}} - S_{OBC} = \pi - \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}84 \ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích hình viên phân cần tìm là $\pi - \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1{,}84$ cm².

Đáp số