Giải Bài 9.11 trang 77 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$, bán kính $r = 1$ cm. Gọi $M$ là tiếp điểm của $(I)$ trên cạnh $BC$.

- Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $I$ của đường tròn nội tiếp nằm trên tia phân giác của các góc. Do đó $BI$ là tia phân giác của góc $B$, suy ra $\widehat{IBM} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2} = \dfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
- $BC$ tiếp xúc với $(I)$ tại $M$ nên $IM \perp BC$ và $IM = r = 1$ cm. Vậy tam giác $IMB$ vuông tại $M$.

Tính cạnh. Trong tam giác vuông $IMB$ (vuông tại $M$):
$$\tan\widehat{IBM} = \dfrac{IM}{BM} \;\Rightarrow\; BM = \dfrac{IM}{\tan 30^\circ} = \dfrac{1}{\tfrac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Vì tam giác đều, tiếp điểm $M$ cũng là trung điểm của $BC$, nên:
$$BC = 2\,BM = 2\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Tam giác $ABC$ đều nên cả ba cạnh bằng nhau:
$$AB = BC = CA = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại. Với tam giác đều cạnh $a = 2\sqrt{3}$, đường cao $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = 3$ cm. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng $\dfrac{1}{3}$ đường cao: $r = \dfrac{3}{3} = 1$ cm — đúng với giả thiết. ✓

Đáp số