Giải Bài 9.10 trang 77 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích: Vì $(I)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với hai cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$, $F$, nên $IE$, $IF$ là các bán kính đi tới tiếp điểm.

Bước 1. Theo tính chất tiếp tuyến, bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó. Do đó:
$$IE \perp AB \Rightarrow \widehat{IEA} = 90^\circ,$$
$$IF \perp AC \Rightarrow \widehat{IFA} = 90^\circ.$$

Bước 2. Xét tứ giác $AEIF$. Tổng các góc trong một tứ giác bằng $360^\circ$, nên:
$$\widehat{EAF} + \widehat{AEI} + \widehat{EIF} + \widehat{IFA} = 360^\circ.$$

Bước 3. Thay $\widehat{AEI} = \widehat{IEA} = 90^\circ$, $\widehat{IFA} = 90^\circ$ và chú ý $\widehat{EAF} = \widehat{BAC}$ (vì $E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$), ta được:
$$\widehat{BAC} + 90^\circ + \widehat{EIF} + 90^\circ = 360^\circ.$$

Bước 4. Suy ra:
$$\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ.$$

Vậy $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180^\circ$ (đpcm).

Đáp số