Giải Bài 9.9 trang 77 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $AD$ là đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ (vì $H$ là trực tâm nên $A$, $H$, $D$ thẳng hàng và $AD \perp BC$). Đặt $\widehat{ABC} = B$. Ta sẽ chứng minh cả $\widehat{BAH}$ và $\widehat{OAC}$ đều bằng $90^\circ - B$.

Bước 1 — Tính $\widehat{BAH}$.
Vì $AD \perp BC$ nên tam giác $ABD$ vuông tại $D$. Trong tam giác vuông này, hai góc nhọn phụ nhau:
$$\widehat{BAD} + \widehat{ABD} = 90^\circ.$$
Mà $\widehat{ABD} = \widehat{ABC} = B$ và $\widehat{BAD} = \widehat{BAH}$ (do $H$ nằm trên tia $AD$), suy ra
$$\widehat{BAH} = 90^\circ - B. \quad (1)$$

Bước 2 — Tính $\widehat{OAC}$.
Góc nội tiếp $\widehat{ABC} = B$ chắn cung $AC$, còn $\widehat{AOC}$ là góc ở tâm cùng chắn cung $AC$. Theo quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung:
$$\widehat{AOC} = 2\,\widehat{ABC} = 2B.$$
Tam giác $OAC$ có $OA = OC$ (cùng bằng bán kính của $(O)$) nên cân tại $O$. Do đó hai góc ở đáy bằng nhau:
$$\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = \frac{180^\circ - \widehat{AOC}}{2} = \frac{180^\circ - 2B}{2} = 90^\circ - B. \quad (2)$$

Bước 3 — Kết luận.
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được
$$\widehat{BAH} = \widehat{OAC} \; (= 90^\circ - B). \qquad \blacksquare$$

*(Ghi chú: ở hình vẽ với tam giác $ABC$ nhọn, các điểm $H$ và $O$ cùng nằm trong tam giác; lập luận trên dùng góc nội tiếp, góc ở tâm và tam giác cân — đúng kiến thức SGK lớp 9.)*

Đáp số