Giải Bài 9.8 trang 77 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi $a$ là độ dài cạnh của tam giác đều $ABC$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $R = 3$ cm là bán kính.

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm của tam giác. Kẻ đường cao $AH$ (với $H$ là trung điểm của $BC$) thì $AH$ đi qua $O$.

Trong tam giác đều cạnh $a$, đường cao:
$$AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Vì $O$ là trọng tâm nên:
$$OA = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Mà $OA = R = 3$ nên:
$$\dfrac{a\sqrt{3}}{3} = 3 \;\Rightarrow\; a\sqrt{3} = 9 \;\Rightarrow\; a = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Diện tích tam giác đều cạnh $a$:
$$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4} \approx 11{,}69\ (\text{cm}^2).$$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{27\sqrt{3}}{4} \approx 11{,}69\ \text{cm}^2$.

Đáp số