Giải Thực hành trang 76 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác, có tâm là giao điểm $I$ của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh. Vì ba đường phân giác cùng đi qua một điểm nên chỉ cần dựng hai tia phân giác (của góc $B$ và góc $C$) là đã xác định được tâm $I$.

Các bước vẽ.

a) *Vẽ tia phân giác góc $B$.*
- Dùng compa, vẽ một cung tròn tâm $B$ (bán kính tùy ý) cắt cạnh $BC$ tại $X$ và cắt cạnh $BA$ tại $Y$. Khi đó $BX = BY$.
- Vẽ hai cung tròn có cùng bán kính: một cung tâm $X$ và một cung tâm $Y$; hai cung này cắt nhau tại điểm $Z$ khác $B$. Khi đó $XZ = YZ$.
- Kẻ tia $BZ$, ta được tia phân giác của góc $B$.

*Giải thích:* Hai tam giác $BXZ$ và $BYZ$ có $BX = BY$, $XZ = YZ$ và cạnh $BZ$ chung nên $\triangle BXZ = \triangle BYZ$ (c.c.c). Suy ra $\widehat{XBZ} = \widehat{YBZ}$, tức $BZ$ là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$.

b) *Vẽ tia phân giác góc $C$.*
- Làm tương tự với đỉnh $C$ ta được tia phân giác của góc $C$. Tia này cắt tia $BZ$ tại điểm $I$.

Vì $I$ là giao điểm của hai tia phân giác trong góc $B$ và góc $C$ nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (ba đường phân giác trong đồng quy tại $I$). Do $I$ nằm trên cả hai tia phân giác nên $I$ cách đều cả ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$.

c) *Xác định bán kính và vẽ đường tròn nội tiếp.*
- Từ $I$, kẻ đoạn vuông góc $IH$ xuống cạnh $BC$ ($H \in BC$) bằng thước và compa (dựng đường vuông góc hạ từ $I$ xuống $BC$). Độ dài $IH = r$ chính là khoảng cách từ $I$ đến cạnh $BC$.
- Vẽ đường tròn tâm $I$, bán kính $r = IH$.

Vì $I$ cách đều ba cạnh nên đường tròn tâm $I$ bán kính $r = IH$ tiếp xúc với cả ba cạnh $AB$, $BC$, $CA$. Đó chính là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cần vẽ. (đpcm)

Đáp số