Giải Hoạt động 6 trang 76 SGK Toán 9

Lời giải

a) G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Gọi $AM$, $BN$, $CP$ lần lượt là ba đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ ($M$, $N$, $P$ là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$). Trọng tâm $G$ là giao điểm của ba đường trung tuyến đó.

Vì tam giác $ABC$ đều nên trong mỗi tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh đó. Chẳng hạn, tam giác $ABC$ có $AB = AC$ nên trung tuyến $AM$ cũng là đường phân giác của góc $A$; tương tự $BN$, $CP$ là các đường phân giác của góc $B$, góc $C$.

Do đó $G$ chính là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $ABC$, nên $G$ cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (đpcm).

b) Bán kính đường tròn nội tiếp bằng nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp và bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{6}BC$.

Lập luận như trên, các đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ của tam giác đều cũng là các đường trung trực của các cạnh. Vì vậy $G$ cũng cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$, tức $G$ đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Khi đó:
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R = GA$ (khoảng cách từ $G$ đến đỉnh).
- Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = GM$ (khoảng cách từ $G$ đến cạnh $BC$, vì $AM \perp BC$ tại $M$).

Theo tính chất trọng tâm, $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với
$$GA = \frac{2}{3}AM, \qquad GM = \frac{1}{3}AM.$$

Suy ra
$$r = GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}AM = \frac{1}{2}GA = \frac{1}{2}R.$$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Đặt $BC = a$. Trong tam giác đều cạnh $a$, trung tuyến $AM$ cũng là đường cao nên
$$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a.$$

Do đó
$$r = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac{\sqrt{3}}{6}BC \quad (\text{đpcm}).$$

(Kiểm tra: $R = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$, nên $\dfrac{1}{2}R = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a = r$, phù hợp.)

Đáp số