Giải Luyện tập 1 trang 89 SGK Toán 9

Lời giải

Vì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ và $A$ khác $B$, $C$ nên ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, do đó chúng tạo thành tam giác $ABC$.

• Chứng minh $BC < AB + AC$:

Xét tam giác $ABC$, áp dụng bất đẳng thức tam giác (một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại), ta có:
$$BC < AB + AC. \quad (1)$$

• Chứng minh $AB + AC < 2BC$:

Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. Ở đây $BC$ là đường kính của đường tròn, còn $AB$ và $AC$ là hai dây cung. Vì $A$ khác $B$ và $A$ khác $C$ nên $AB$, $AC$ đều là những dây cung không đi qua tâm (không phải đường kính), suy ra:
$$AB < BC \quad\text{và}\quad AC < BC.$$

Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên, ta được:
$$AB + AC < BC + BC = 2BC. \quad (2)$$

• Kết luận:

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$$BC < AB + AC < 2BC \quad \text{(đpcm).}$$

Đáp số