Giải Bài 5.4 trang 87 SGK Toán 9

Lời giải

a) Gọi $E$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông $ABCD$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó:
$$EA = EB = EC = ED = \frac{AC}{2}.$$

Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng cách điểm $E$ một khoảng không đổi, nên chúng cùng nằm trên một đường tròn tâm $E$, bán kính $R = EA$. Tức là có một đường tròn đi qua bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ (đpcm).

- Tâm đối xứng của đường tròn chính là tâm $E$.
- Vì $AC$ và $BD$ là hai đường kính của đường tròn (đều đi qua tâm $E$) nên mỗi đường thẳng chứa đường kính là một trục đối xứng. Vậy hai trục đối xứng của đường tròn là hai đường thẳng chứa hai đường chéo $AC$ và $BD$.

b) Hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB = BC = 3$ cm. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, theo định lí Pythagore:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}.$$

Bán kính đường tròn là:
$$R = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12 \text{ (cm)}.$$

Đáp số