Giải Bài 5.3 trang 87 SGK Toán 9

Lời giải

a) Ba điểm $B$, $C$, $D$ có thuộc $(O)$ không?

*Điểm $B$:* $B$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$. Vì $d$ đi qua $O$ nên $O$ nằm trên $d$, do đó $O$ là điểm bất động của phép đối xứng trục $d$. Phép đối xứng trục giữ nguyên khoảng cách, nên:
$$OB = OA = R.$$
Vậy $B$ thuộc $(O)$.

*Điểm $C$:* $C$ đối xứng với $A$ qua $O$, nghĩa là $O$ là trung điểm của $AC$, suy ra:
$$OC = OA = R.$$
Vậy $C$ thuộc $(O)$.

*Điểm $D$:* $D$ đối xứng với $B$ qua $O$, nghĩa là $O$ là trung điểm của $BD$, suy ra:
$$OD = OB = R.$$
Vậy $D$ thuộc $(O)$.

Kết luận: cả ba điểm $B$, $C$, $D$ đều thuộc đường tròn $(O)$.

b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Xét tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo là $AC$ và $BD$.

- Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$.
- Vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD$.

Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường, nên $ABCD$ là hình bình hành.

Mặt khác, $A$, $B$, $C$, $D$ đều thuộc $(O)$ và $O$ là trung điểm của $AC$, $BD$, nên $AC$ và $BD$ đều là đường kính của $(O)$:
$$AC = BD = 2R.$$

Hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau nên $ABCD$ là hình chữ nhật (đpcm).

c) Chứng minh $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

Vì $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $d$ là đường trung trực của $AB$; do đó $d \perp AB$ và $d$ đi qua trung điểm $M$ của $AB$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \parallel AB$ và $CD = AB$. Từ $d \perp AB$ và $CD \parallel AB$ suy ra:
$$d \perp CD.$$

Gọi $N$ là trung điểm của $CD$. Trong hình chữ nhật $ABCD$, tâm $O$ là trung điểm của mỗi đường chéo, nên $O$ là tâm đối xứng của hình; qua phép đối xứng tâm $O$, cạnh $AB$ biến thành cạnh $CD$, do đó trung điểm $M$ của $AB$ biến thành trung điểm $N$ của $CD$. Vậy $O$ là trung điểm của $MN$, tức $M$, $O$, $N$ thẳng hàng.

Vì $M$ và $O$ cùng nằm trên $d$ nên đường thẳng $MN$ chính là $d$, suy ra $N$ cũng nằm trên $d$.

Như vậy $d$ vuông góc với $CD$ tại trung điểm $N$ của $CD$, nên $d$ là đường trung trực của $CD$. Do đó $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$ (đpcm).

Đáp số