Giải Bài 4.29 trang 83 SGK Toán 9

Lời giải

a) Viết các tỉ số lượng giác $\sin\alpha$, $\cos\alpha$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên cạnh huyền là $BC$. Xét góc nhọn $\widehat{B}=\alpha$:

- Cạnh đối của góc $\alpha$ là $AC$.
- Cạnh kề của góc $\alpha$ là $AB$.
- Cạnh huyền là $BC$.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn:

$$\sin\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}=\dfrac{AC}{BC},\qquad \cos\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}=\dfrac{AB}{BC}.$$

b) Chứng minh $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

Từ kết quả câu a), ta có:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\dfrac{AC}{BC}\right)^2+\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=\dfrac{AC^2}{BC^2}+\dfrac{AB^2}{BC^2}=\dfrac{AC^2+AB^2}{BC^2}.$$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$, áp dụng định lí Pythagore cho cạnh huyền $BC$:

$$AB^2+AC^2=BC^2.$$

Thay vào biểu thức trên:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac{AC^2+AB^2}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{BC^2}=1.$$

Vậy $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ (đpcm).

Đáp số