Giải Bài 4.26 trang 82 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích đề: Xét tam giác vuông có hai góc nhọn, trong đó một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại.

a) Tính số đo các góc và xét sự đồng dạng:

Gọi góc nhọn nhỏ hơn là $\alpha$, khi đó góc nhọn lớn hơn là $2\alpha$.

Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên:
$$\alpha + 2\alpha = 90^\circ \;\Rightarrow\; 3\alpha = 90^\circ \;\Rightarrow\; \alpha = 30^\circ.$$

Vậy hai góc nhọn là $30^\circ$ và $2\alpha = 60^\circ$; ba góc của mỗi tam giác luôn là $30^\circ,\,60^\circ,\,90^\circ$.

Hai tam giác bất kì trong số đó đều có các cặp góc tương ứng bằng nhau ($30^\circ=30^\circ$ và $90^\circ=90^\circ$) nên chúng đồng dạng với nhau (theo trường hợp góc – góc).

b) Tính $\sin$ và $\cos$ của góc nhọn lớn hơn ($60^\circ$):

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{B}=60^\circ$, $\widehat{C}=30^\circ$. Đặt cạnh huyền $BC = a$.

Cạnh $AB$ đối diện với góc $30^\circ$ nên bằng nửa cạnh huyền:
$$AB = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2}.$$

Theo định lí Pythagore:
$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Với góc $B = 60^\circ$:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},$$
$$\cos 60^\circ = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{a} = \dfrac{1}{2}.$$

Kiểm tra lại: $\sin^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ (đúng). Vậy $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$ và $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}=0{,}5$.

Đáp số