Giải Bài 4.18 trang 81 SGK Toán 9
Đề bài
Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$, $B$ ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm $C$ đến $A$ và đến $B$ là $CA = 90$ m, $CB = 150$ m và $\widehat{ACB} = 120^\circ$ (H.4.29). Hãy tính $AB$ giúp bạn.
Mô tả hình bằng lời
Hình 4.29: Điểm $B$ ở bên trái, $C$ ở giữa, $H$ bên phải nằm trên đường thẳng $BC$ kéo dài; $A$ ở phía trên $H$. $BC = 150$ m, $CA = 90$ m, $AH$ vuông góc với $BH$ tại $H$ với $AH$ bằng 90 m (ghi bên đoạn đứng), góc $\widehat{ACB} = 120^\circ$ (góc ngoài tại $C$ là $60^\circ$). Cần tính khoảng cách $AB$.
Lời giải
Phân tích. Vì $\widehat{ACB}=120^\circ$ là góc tù nên ta kẻ thêm đường cao để đưa về tam giác vuông rồi dùng tỉ số lượng giác và định lí Pythagore.
Kẻ $AH \perp BC$ tại $H$ (với $H$ nằm trên đường thẳng $BC$, về phía bên kia của $C$ so với $B$).
Bước 1. Tính $CH$ và $AH$ trong tam giác vuông $ACH$.
Vì $\widehat{ACB}=120^\circ$ nên góc kề bù với nó là:
$$\widehat{ACH}=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$
Tam giác $ACH$ vuông tại $H$, có cạnh huyền $CA=90$ m. Dùng tỉ số lượng giác của góc $\widehat{ACH}=60^\circ$:
$$CH = CA\cdot\cos 60^\circ = 90\cdot\frac{1}{2}=45\ (\text{m}),$$
$$AH = CA\cdot\sin 60^\circ = 90\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=45\sqrt{3}\approx 77{,}94\ (\text{m}).$$
Bước 2. Tính $BH$.
Vì $H$ và $B$ nằm về hai phía của $C$ nên:
$$BH = BC + CH = 150 + 45 = 195\ (\text{m}).$$
Bước 3. Tính $AB$ bằng định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABH$.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên:
$$AB^2 = AH^2 + BH^2 = \left(45\sqrt{3}\right)^2 + 195^2 = 6075 + 38025 = 44100.$$
$$AB = \sqrt{44100} = 210\ (\text{m}).$$
Kiểm tra lại. Có thể kiểm tra bằng định lí côsin: $AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2\cdot CA\cdot CB\cdot\cos 120^\circ = 90^2 + 150^2 - 2\cdot 90\cdot 150\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 8100 + 22500 + 13500 = 44100$, suy ra $AB = 210$ m. Kết quả khớp nhau.
Vậy khoảng cách giữa hai địa điểm $A$ và $B$ là $AB = 210$ m.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.