Giải Bài 4.15 trang 81 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $AH$ là đường cao nên $AH \perp BC$, do đó tam giác $AHB$ vuông tại $H$ và tam giác $AHC$ vuông tại $H$. Vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $BC = HB + HC = 3 + 6 = 9$ (cm).

Bước 1: Tính đường cao $AH$ và cạnh $AC$ (dùng tam giác vuông $AHC$).

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có $\widehat{HAC} = 60^\circ$ và cạnh đối $HC = 6$ cm.

$$\tan\widehat{HAC} = \dfrac{HC}{AH} \Rightarrow AH = \dfrac{HC}{\tan 60^\circ} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ (cm)}.$$

$$\sin\widehat{HAC} = \dfrac{HC}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{HC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{6}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \approx 7 \text{ (cm)}.$$

Bước 2: Tính cạnh $AB$ (dùng tam giác vuông $AHB$).

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có $HB = 3$ cm và $AH = 2\sqrt{3}$ cm. Theo định lí Pythagore:

$$AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21} \approx 4{,}58 \approx 5 \text{ (cm)}.$$

Bước 3: Tính các góc của tam giác $ABC$.

- Trong tam giác vuông $AHC$: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{HAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.$

- Trong tam giác vuông $AHB$: $\tan\widehat{B} = \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}1547 \Rightarrow \widehat{B} \approx 49^\circ.$

- Góc còn lại: $\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} \approx 180^\circ - 49^\circ - 30^\circ = 101^\circ.$

Kiểm tra. $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} \approx 101^\circ + 49^\circ + 30^\circ = 180^\circ$ (đúng). Cạnh lớn nhất $BC = 9$ cm đối diện góc lớn nhất $\widehat{A} \approx 101^\circ$, cạnh nhỏ nhất $AB \approx 5$ cm đối diện góc nhỏ nhất $\widehat{C} = 30^\circ$ — hợp lí.

a) Các cạnh: $AB \approx 5$ cm; $AC \approx 7$ cm; $BC = 9$ cm.

b) Các góc: $\widehat{A} \approx 101^\circ$; $\widehat{B} \approx 49^\circ$; $\widehat{C} = 30^\circ$.

Đáp số