Giải Bài 4.14 trang 81 SGK Toán 9

Lời giải

Xét hình chữ nhật $ABCD$ là mặt cuốn sách với chiều rộng $AB = 17$ cm, chiều dài $AD = 24$ cm. Đường chéo $AC$ tạo với cạnh $17$ cm (cạnh $AB$) một góc $\alpha$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật), có:
- Cạnh kề góc $\alpha$: $AB = 17$ cm
- Cạnh đối góc $\alpha$: $BC = AD = 24$ cm

a) Tính độ dài đường chéo $AC$

Theo định lí Py-ta-go:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{17^2 + 24^2} = \sqrt{289 + 576} = \sqrt{865} \approx 29{,}41 \text{ (cm)}.$$

b) Tính $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $ABC$:
$$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{24}{\sqrt{865}} \approx 0{,}82;$$
$$\cos\alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{17}{\sqrt{865}} \approx 0{,}58.$$

c) Tính số đo góc $\alpha$

Ta có:
$$\tan\alpha = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{24}{17} \approx 1{,}41.$$

Dùng máy tính cầm tay, suy ra:
$$\alpha \approx 55^\circ.$$

Kiểm tra: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \approx 0{,}82^2 + 0{,}58^2 = 0{,}6724 + 0{,}3364 = 1{,}0088 \approx 1$ (sai số do làm tròn) — hợp lí. Với $\alpha \approx 55^\circ$: $\sin 55^\circ \approx 0{,}82$, $\cos 55^\circ \approx 0{,}57$ — khớp với kết quả.

Đáp số