Giải Bài 4.12 trang 79 SGK Toán 9

Lời giải

## Phân tích hình

Hình thang $ABCD$ có $AD \parallel BC$, $AD = 16$ cm, $BC = 4$ cm, $\hat{A} = \hat{B} = 90^\circ$ (hình thang vuông tại $A$ và $B$), và $\widehat{ACD} = 90^\circ$ (nên $\triangle ACD$ vuông tại $C$).

$CE$ là đường cao của $\triangle ACD$ nên $CE \perp AD$ tại $E$ (với $E$ thuộc $AD$).

## a) Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$, tính $\sin$ và suy ra $AC$

• Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$

Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên hai góc nhọn phụ nhau:
$$\widehat{ADC} + \widehat{DAC} = 90^\circ.$$

Tam giác $ACE$ vuông tại $E$ (vì $CE \perp AD$) nên:
$$\widehat{ACE} + \widehat{CAE} = 90^\circ.$$

Mà $\widehat{DAC} = \widehat{CAE}$ (cùng là góc $A$ của tam giác $ACD$). Do đó:
$$\widehat{ADC} = \widehat{ACE}. \qquad \text{(đpcm)}$$

• Tính $\sin$ các góc

Trong tam giác $ACD$ vuông tại $C$, góc $\widehat{ADC}$ có cạnh đối là $AC$, cạnh huyền là $AD$:
$$\sin\widehat{ADC} = \dfrac{AC}{AD}.$$

Trong tam giác $ACE$ vuông tại $E$, góc $\widehat{ACE}$ có cạnh đối là $AE$, cạnh huyền là $AC$:
$$\sin\widehat{ACE} = \dfrac{AE}{AC}.$$

• Suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$

Vì $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$ nên $\sin\widehat{ADC} = \sin\widehat{ACE}$, tức là:
$$\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{AE}{AC} \;\Rightarrow\; AC^2 = AE \cdot AD. \qquad \text{(đpcm)}$$

• Tính $AC$

Xét tứ giác $ABCE$: có $\hat{A} = \widehat{ABC} = 90^\circ$ và $\widehat{AEC} = 90^\circ$ (do $CE \perp AD$). Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra:
$$AE = BC = 4 \text{ cm}.$$

Thay vào hệ thức trên:
$$AC^2 = AE \cdot AD = 4 \cdot 16 = 64 \;\Rightarrow\; AC = 8 \text{ (cm)}.$$

##

b) Tính góc $D$ của hình thang

Góc $D$ của hình thang chính là $\widehat{ADC}$. Trong tam giác $ACD$ vuông tại $C$:
$$\sin\widehat{ADC} = \dfrac{AC}{AD} = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}.$$

Do đó:
$$\widehat{ADC} = 30^\circ.$$

Vậy góc $D$ của hình thang bằng $30^\circ$.

Kiểm tra lại: $AB = CE = \sqrt{AC^2 - AE^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$; khi đó $\tan\widehat{ADC} = \dfrac{CE}{ED} = \dfrac{4\sqrt3}{16-4} = \dfrac{4\sqrt3}{12} = \dfrac{1}{\sqrt3}$, đúng với góc $30^\circ$.

Đáp số