Giải Bài 4.11 trang 79 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi hình thoi là $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 2\sqrt{3}$ và $BD = 2$, cắt nhau tại $O$.

Tính chất đường chéo hình thoi: Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường và là các đường phân giác của các góc hình thoi.

Do đó $\triangle AOB$ vuông tại $O$, với:

$$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}, \qquad OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{2}{2} = 1.$$

a) Tính góc $A$ và góc $C$:

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $O$. Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn (hệ thức lượng trong tam giác vuông):

$$\tan\widehat{OAB} = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Suy ra $\widehat{OAB} = 30^\circ$.

Vì $AC$ là phân giác của góc $A$ nên:

$$\widehat{A} = \widehat{DAB} = 2\,\widehat{OAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$$

Hai góc đối của hình thoi bằng nhau nên $\widehat{C} = \widehat{A} = 60^\circ$.

b) Tính góc $B$ và góc $D$:

Trong tam giác $AOB$ vuông tại $O$, hai góc nhọn phụ nhau:

$$\widehat{OBA} = 90^\circ - \widehat{OAB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$$

Vì $BD$ là phân giác của góc $B$ nên:

$$\widehat{B} = \widehat{ABC} = 2\,\widehat{OBA} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ.$$

Hai góc đối bằng nhau nên $\widehat{D} = \widehat{B} = 120^\circ.$

Kiểm tra: Tổng bốn góc $= 60^\circ + 120^\circ + 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$ (đúng với tổng các góc của tứ giác). Ngoài ra cạnh hình thoi $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$, phù hợp.

Kết luận: Các góc của hình thoi là $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

Đáp số