Giải Vận dụng trang 78 SGK Toán 9

Lời giải

Tình huống mở đầu. Để tính chiều cao $AH$ của một vật dựng thẳng đứng (cây/cột/tháp) mà không tới được chân $H$, người ta chọn hai điểm $C$, $D$ trên mặt đất thẳng hàng với $H$ ($C$ ở giữa $D$ và $H$), với $CD = 20$ m. Tại $C$ nhìn lên đỉnh $A$ được góc nâng $\alpha = 27^\circ$, tại $D$ được góc nâng $\beta = 19^\circ$.

Lời giải.

Vì vật dựng thẳng đứng nên $AH \perp DH$, do đó hai tam giác $ACH$ và $ADH$ vuông tại $H$.

Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$ có $\widehat{ACH} = 27^\circ$. Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

$$CH = \dfrac{AH}{\tan 27^\circ}.$$

Xét $\triangle ADH$ vuông tại $H$ có $\widehat{ADH} = 19^\circ$:

$$DH = \dfrac{AH}{\tan 19^\circ}.$$

Vì $C$ nằm giữa $D$ và $H$ nên $CD = DH - CH$, suy ra:

$$CD = AH\left(\dfrac{1}{\tan 19^\circ} - \dfrac{1}{\tan 27^\circ}\right).$$

Do đó:

$$AH = \dfrac{CD}{\dfrac{1}{\tan 19^\circ} - \dfrac{1}{\tan 27^\circ}} = \dfrac{20}{\dfrac{1}{\tan 19^\circ} - \dfrac{1}{\tan 27^\circ}}.$$

Thay số: $\dfrac{1}{\tan 19^\circ} \approx 2{,}9042$ và $\dfrac{1}{\tan 27^\circ} \approx 1{,}9626$, nên mẫu số $\approx 2{,}9042 - 1{,}9626 = 0{,}9416$. Vậy:

$$AH \approx \dfrac{20}{0{,}9416} \approx 21{,}24 \ (\text{m}).$$

Kiểm tra. Khi $AH \approx 21{,}24$ m thì $CH \approx \dfrac{21{,}24}{\tan 27^\circ} \approx 41{,}69$ m và $DH \approx \dfrac{21{,}24}{\tan 19^\circ} \approx 61{,}69$ m, nên $DH - CH \approx 20$ m $= CD$ (thỏa mãn).

Vậy chiều cao cần tìm là $AH \approx 21{,}24$ m.

Đáp số