Giải Bài 4.4 trang 74 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi hình chữ nhật là $ABCD$ với chiều dài $AB = CD = 3$ và chiều rộng $AD = BC = \sqrt{3}$. Cạnh ngắn hơn là cạnh có độ dài $\sqrt{3}$ (chiều rộng).

Xét đường chéo $AC$. Tam giác $ACD$ vuông tại $D$, trong đó:
- Cạnh ngắn hơn là $DC$... (lưu ý: ta xét đường chéo và cạnh ngắn hơn, tức cạnh $\sqrt{3}$).

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có cạnh ngắn hơn $BC = \sqrt{3}$ và cạnh dài hơn $AB = 3$. Đường chéo là $AC$.

Tính góc. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường chéo $AC$ và cạnh ngắn $BC$, tức $\alpha = \widehat{ACB}$.

Trong tam giác vuông $ABC$ (vuông tại $B$), với góc nhọn $\alpha = \widehat{ACB}$:
- cạnh đối của $\alpha$ là $AB = 3$;
- cạnh kề của $\alpha$ là $BC = \sqrt{3}$.

Do đó:
$$\tan\alpha = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.$$

Tra bảng giá trị lượng giác (trang 69), ta có $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$, suy ra:
$$\alpha = 60^\circ.$$

Kiểm tra lại. Độ dài đường chéo $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Khi đó $\cos\alpha = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} = \cos 60^\circ$, phù hợp. Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn bằng $60^\circ$.

Đáp số