Giải Bài 4.1 trang 74 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên cạnh huyền là $BC$. Với góc nhọn $B$: cạnh đối là $AC$, cạnh kề là $AB$; với góc nhọn $C$: cạnh đối là $AB$, cạnh kề là $AC$. Ta dùng các công thức:

$$\sin = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}},\quad \cos = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}},\quad \tan = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}},\quad \cot = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}.$$

a) $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ (cm)}.$$

*Góc $B$* (đối $AC = 15$, kề $AB = 8$, huyền $BC = 17$):

$$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{17};\quad \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{17};\quad \tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{8};\quad \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{15}.$$

*Góc $C$* (đối $AB = 8$, kề $AC = 15$, huyền $BC = 17$):

$$\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{17};\quad \cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{17};\quad \tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{15};\quad \cot C = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{15}{8}.$$

(Kiểm tra: $B$ và $C$ phụ nhau nên $\sin B = \cos C$, $\tan B = \cot C$ — đúng.)

b) $AC = 0,9$ cm, $AB = 1,2$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{1,2^2 + 0,9^2} = \sqrt{1,44 + 0,81} = \sqrt{2,25} = 1,5 \text{ (cm)}.$$

*Góc $B$* (đối $AC = 0,9$, kề $AB = 1,2$, huyền $BC = 1,5$):

$$\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{0,9}{1,5} = \dfrac{3}{5};\quad \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1,2}{1,5} = \dfrac{4}{5};$$

$$\tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{0,9}{1,2} = \dfrac{3}{4};\quad \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1,2}{0,9} = \dfrac{4}{3}.$$

*Góc $C$* (đối $AB = 1,2$, kề $AC = 0,9$, huyền $BC = 1,5$):

$$\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1,2}{1,5} = \dfrac{4}{5};\quad \cos C = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{0,9}{1,5} = \dfrac{3}{5};$$

$$\tan C = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{1,2}{0,9} = \dfrac{4}{3};\quad \cot C = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{0,9}{1,2} = \dfrac{3}{4}.$$

(Kiểm tra: $\sin B = \cos C = \dfrac{3}{5}$, $\tan B = \cot C = \dfrac{3}{4}$ — phù hợp vì $B$, $C$ phụ nhau.)

Đáp số