Giải Tranh luận trang 73 SGK Toán 9
Đề bài
Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$, $B$ không đo trực tiếp được, chẳng hạn $A$ và $B$ là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm $C$ về phía bờ sông có chứa $B$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Ở bên bờ sông chứa $B$, người ta đo được $\widehat{ACB} = \alpha$ và $BC = a$ (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách $AB$ chưa? Nếu được, hãy tính $AB$, biết $\alpha = 55^\circ$, $a = 70$ m.
Em hãy cho biết ý kiến của mình.
Mô tả hình bằng lời
Hình 4.10: Tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Điểm $C$ ở bờ trái sông, các điểm $A$ và $B$ ở bờ phải (bên kia sông). Góc tại $C$ là $\widehat{ACB} = \alpha$; cạnh $CB = a$ nằm chéo từ $C$ xuống $B$. Góc vuông tại $B$. $A$ nằm phía trên bên phải, đường $CA$ và $CB$ là hai cạnh của góc $\alpha$. Cho $\alpha = 55^\circ$, $a = 70$ m. Hai bong bóng tranh luận: một ý kiến cho rằng 'Không thể tính được AB vì trong tam giác vuông ABC, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.'; ý kiến kia cho rằng 'Với các dữ liệu đã biết là có thể tính được khoảng cách AB rồi.'
Lời giải
Nhận xét ý kiến: Bạn thứ hai đúng. Tuy định lí Pythagore cần biết hai cạnh, nhưng ngoài ra ta còn có hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Chỉ cần biết một cạnh góc vuông và một góc nhọn là đủ để tính các cạnh còn lại, nên với $\widehat{ACB}=\alpha$ và $BC=a$ ta hoàn toàn tính được $AB$.
Tính $AB$:
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, xét góc nhọn $C$:
- $AB$ là cạnh góc vuông đối diện với góc $C$;
- $BC$ là cạnh góc vuông kề với góc $C$.
Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối bằng cạnh góc vuông kề nhân với tang của góc đối:
$$AB = BC\cdot\tan C = a\cdot\tan\alpha.$$
Thay $\alpha=55^\circ$, $a=70$ m:
$$AB = 70\cdot\tan 55^\circ \approx 70\cdot 1,4281 \approx 99,97\ (\text{m}).$$
Vậy khoảng cách $AB \approx 99,97$ m $\approx 100$ m.
Kiểm tra: Dùng hệ thức khác để đối chiếu: $\widehat{BAC}=90^\circ-55^\circ=35^\circ$, khi đó $AB = BC\cdot\cot A$... nhưng gọn hơn là kiểm tra bằng $BC = AB\cdot\tan A$: $AB\cdot\tan 35^\circ \approx 99,97\cdot 0,7002 \approx 70$ m $= BC$. Kết quả khớp.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.