Giải Hoạt động 3 trang 70 SGK Toán 9

Lời giải

a) Tính đường cao $AH$.

Tam giác $ABC$ đều nên đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến, suy ra $H$ là trung điểm của $BC$:
$$BH = HC = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{2a}{2} = a.$$

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$. Áp dụng định lí Pythagore:
$$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.$$

b) Tính $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$, $\sin 60^\circ$, $\cos 60^\circ$.

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có $\widehat{BAH} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$, với $BH = a$, $AH = a\sqrt{3}$, $AB = 2a$.

Đối với góc $30^\circ$ (góc $\widehat{BAH}$): cạnh đối là $BH$, cạnh kề là $AH$, cạnh huyền là $AB$:
$$\sin 30^\circ = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}; \qquad \cos 30^\circ = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Đối với góc $60^\circ$ (góc $\widehat{B}$): cạnh đối là $AH$, cạnh kề là $BH$, cạnh huyền là $AB$:
$$\sin 60^\circ = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; \qquad \cos 60^\circ = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}.$$

c) Tính $\tan 30^\circ$, $\cot 30^\circ$, $\tan 60^\circ$, $\cot 60^\circ$.

Đối với góc $30^\circ$ (góc $\widehat{BAH}$): cạnh đối $BH = a$, cạnh kề $AH = a\sqrt{3}$:
$$\tan 30^\circ = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}; \qquad \cot 30^\circ = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}.$$

Đối với góc $60^\circ$ (góc $\widehat{B}$): cạnh đối $AH = a\sqrt{3}$, cạnh kề $BH = a$:
$$\tan 60^\circ = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}; \qquad \cot 60^\circ = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

Đáp số