Giải Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 8

Lời giải

Để xét hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ có bằng nhau hay không, ta dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau đã học:

$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\ \text{ nếu }\ A\cdot D=B\cdot C.$$

Ở đây ta xét khẳng định $\dfrac{1}{x^2+x+1}=\dfrac{1-x}{1-x^3}$, tức là so sánh hai tích chéo $1\cdot(1-x^3)$ và $(x^2+x+1)(1-x)$.

Tích thứ nhất:
$$1\cdot\left(1-x^3\right)=1-x^3.$$

Tích thứ hai: (nhân đa thức với đa thức)
$$(x^2+x+1)(1-x)=x^2+x+1-x^3-x^2-x=1-x^3.$$

Hai tích chéo bằng nhau:
$$1\cdot\left(1-x^3\right)=(x^2+x+1)(1-x)\ \big(=1-x^3\big).$$

Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, suy ra
$$\dfrac{1}{x^2+x+1}=\dfrac{1-x}{1-x^3}.$$

Vậy khẳng định đã cho là đúng.

Đáp số