Giải Tranh luận trang 7 SGK Toán 8

Lời giải

Nhắc lại định nghĩa (SGK lớp 8): Phân thức đại số (hay phân thức) là biểu thức có dạng $\dfrac{A}{B}$, trong đó $A$ và $B$ là những đa thức và $B$ khác đa thức $0$.

Điều mấu chốt của định nghĩa: để là phân thức thì biểu thức phải có sẵn dạng $\dfrac{A}{B}$ với tử $A$ và mẫu $B$ đều là đa thức.

Xét biểu thức đã cho $\dfrac{3-2x}{3+\dfrac{1}{x}}$:

- Tử thức là $3-2x$ — đây là một đa thức.
- Mẫu thức là $3+\dfrac{1}{x}$. Biểu thức này có hạng tử $\dfrac{1}{x}$ chứa biến $x$ ở mẫu, mà đa thức thì không được có biến ở mẫu. Vậy $3+\dfrac{1}{x}$ không phải là một đa thức.

Vì mẫu thức $3+\dfrac{1}{x}$ không phải là đa thức nên biểu thức $\dfrac{3-2x}{3+\dfrac{1}{x}}$ không có dạng $\dfrac{A}{B}$ với $A,\,B$ là các đa thức. Do đó, bản thân biểu thức viết như ban đầu không phải là một phân thức.

Lưu ý — chỗ dễ nhầm: Có thể biến đổi (với $x\neq 0$):
$$3+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3x+1}{x}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{3-2x}{3+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{3-2x}{\dfrac{3x+1}{x}}=\dfrac{(3-2x)\cdot x}{3x+1}=\dfrac{3x-2x^2}{3x+1}.$$
Kết quả $\dfrac{3x-2x^2}{3x+1}$ mới là một phân thức. Nhưng đây là một biểu thức bằng biểu thức đã cho sau khi biến đổi, chứ không phải là chính biểu thức ban đầu. Câu hỏi là xét biểu thức như đã viết $\dfrac{3-2x}{3+\dfrac{1}{x}}$ — mà dạng này có mẫu không phải đa thức, nên nó chưa phải là phân thức.

Kết luận: Bạn thứ nhất đúng. Biểu thức $\dfrac{3-2x}{3+\dfrac{1}{x}}$ không phải là phân thức vì mẫu thức $3+\dfrac{1}{x}$ không phải là đa thức.

Đáp số