Giải Tranh luận trang 15 SGK Toán 8

Lời giải

Phân tích đề bài. Đa thức cần tìm là đa thức bậc hai, đã thu gọn (không còn hạng tử đồng dạng), có hai biến $x$ và $y$, và mỗi hạng tử đều có hệ số bằng $1$. Ta đi liệt kê tất cả các loại hạng tử (đơn thức có hệ số $1$) có thể xuất hiện trong một đa thức bậc hai hai biến $x,\ y$.

Bước 1. Liệt kê các hạng tử theo bậc.

- Hạng tử bậc $2$ (bậc cao nhất, bắt buộc phải có ít nhất một hạng tử loại này vì đa thức có bậc $2$): $x^2;\quad xy;\quad y^2$ — có $3$ hạng tử.
- Hạng tử bậc $1$: $x;\quad y$ — có $2$ hạng tử.
- Hạng tử bậc $0$ (hằng số có hệ số bằng $1$): $1$ — có $1$ hạng tử.

Bước 2. Đếm số hạng tử nhiều nhất. Vì đa thức đã thu gọn nên mỗi loại đơn thức trên chỉ được xuất hiện nhiều nhất một lần. Do đó số hạng tử nhiều nhất là:
$$3 + 2 + 1 = 6 \text{ (hạng tử).}$$

Bước 3. Nêu đa thức và ý kiến. Lấy đủ cả $6$ hạng tử nói trên (mỗi hạng tử hệ số $1$), ta được đa thức:
$$x^2 + xy + y^2 + x + y + 1.$$
Đây là đa thức bậc hai (bậc cao nhất bằng $2$), hai biến $x,\ y$, đã thu gọn, mỗi hạng tử có hệ số $1$ và có đúng $6$ hạng tử.

Kiểm tra lại. Không thể thêm được hạng tử nào nữa: mọi đơn thức hai biến $x,\ y$ có bậc không vượt quá $2$ đều đã nằm trong danh sách $\{x^2,\ xy,\ y^2,\ x,\ y,\ 1\}$. Nếu thêm bất kì đơn thức nào khác thì hoặc trùng (đồng dạng) với một hạng tử đã có (trái với "đã thu gọn"), hoặc có bậc lớn hơn $2$ (trái với "bậc hai"). Vậy $6$ là số lớn nhất.

Kết luận. Bạn Chung trả lời đúng: đa thức như vậy có nhiều nhất $6$ hạng tử; chẳng hạn $x^2 + xy + y^2 + x + y + 1$.

Đáp số