Giải Bài 6.18 trang 80 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi các biến cố:
- $X$: "Người bệnh được chọn uống thuốc X";
- $Y$: "Người bệnh được chọn uống thuốc Y";
- $K$: "Người bệnh được chọn khỏi bệnh".

Từ bảng thống kê $2\times 2$, ta có bảng số liệu đầy đủ (tổng theo cột và theo hàng):

| Kết quả \ Thuốc | X | Y | Tổng |
|---|---|---|---|
| Khỏi bệnh | $1\,600$ | $1\,200$ | $2\,800$ |
| Không khỏi bệnh | $800$ | $400$ | $1\,200$ |
| Tổng | $2\,400$ | $1\,600$ | $4\,000$ |

Vì chọn ngẫu nhiên $1$ người trong $4\,000$ người nên xác suất của mỗi biến cố bằng số phần tử thuận lợi chia cho $4\,000$.

a) Tính $P(K\mid X)$ — xác suất khỏi bệnh, biết người đó uống thuốc X.

Số người uống thuốc X là $2\,400$ nên
$$P(X)=\frac{2\,400}{4\,000}=0{,}6.$$
Số người vừa uống thuốc X vừa khỏi bệnh là $1\,600$ nên
$$P(K\cap X)=\frac{1\,600}{4\,000}=0{,}4.$$
Theo công thức xác suất có điều kiện:
$$P(K\mid X)=\frac{P(K\cap X)}{P(X)}=\frac{0{,}4}{0{,}6}=\frac{1\,600}{2\,400}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667.$$

Vậy xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người đó uống thuốc X là $\dfrac{2}{3}$.

b) Tính $P(Y\mid K)$ — xác suất uống thuốc Y, biết người đó khỏi bệnh.

Số người khỏi bệnh là $2\,800$ nên
$$P(K)=\frac{2\,800}{4\,000}=0{,}7.$$
Số người vừa uống thuốc Y vừa khỏi bệnh là $1\,200$ nên
$$P(Y\cap K)=\frac{1\,200}{4\,000}=0{,}3.$$
Theo công thức xác suất có điều kiện:
$$P(Y\mid K)=\frac{P(Y\cap K)}{P(K)}=\frac{0{,}3}{0{,}7}=\frac{1\,200}{2\,800}=\frac{3}{7}\approx 0{,}429.$$

Vậy xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh, là $\dfrac{3}{7}$.

Đáp số