Giải Hoạt động 4 trang 11 SGK Toán 11

Lời giải

Chuẩn bị. Trên đường tròn lượng giác tâm $O$, bán kính $R=1$, điểm gốc $A(1;0)$, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ. Mỗi góc lượng giác sđ$(OA, OM)$ xác định duy nhất một điểm $M$ trên đường tròn: xuất phát từ tia $OA$ quay quanh $O$ một góc có số đo đã cho (dương thì quay theo chiều dương, âm thì quay theo chiều âm) thì tia cuối cắt đường tròn tại $M$.

Nhớ rằng cả vòng tròn ứng với $2\pi$, và các vị trí quen thuộc: $\dfrac{\pi}{2}$ ứng với trục $Oy$ dương, $\pi$ ứng với trục $Ox$ âm, $\dfrac{3\pi}{2}$ ứng với trục $Oy$ âm.

a) Xác định $M$ với sđ$(OA, OM)=\dfrac{5\pi}{4}$.

Vì $\dfrac{5\pi}{4}>0$ nên ta quay tia $OA$ theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) một góc $\dfrac{5\pi}{4}$.

Ta viết: $\dfrac{5\pi}{4}=\pi+\dfrac{\pi}{4}$.

Như vậy từ $A$ quay hết nửa vòng ($\pi$) tới vị trí trục $Ox$ âm, rồi quay thêm $\dfrac{\pi}{4}$ nữa. Do đó $M$ nằm ở góc phần tư thứ III và là điểm chính giữa của cung phần tư này (ứng với góc $\dfrac{5\pi}{4}=225^\circ$).

Toạ độ của $M$:
$$M\left(\cos\dfrac{5\pi}{4};\ \sin\dfrac{5\pi}{4}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

b) Xác định $N$ với sđ$(OA, ON)=-\dfrac{7\pi}{4}$.

Vì số đo âm nên ta quay tia $OA$ theo chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) một góc $\dfrac{7\pi}{4}$.

Ta có: $-\dfrac{7\pi}{4}=-2\pi+\dfrac{\pi}{4}$.

Quay theo chiều âm trọn một vòng ($-2\pi$) thì trở lại đúng điểm $A$, sau đó còn dư $\dfrac{\pi}{4}$ theo chiều dương. Vậy $N$ ở cùng vị trí với điểm ứng với góc $\dfrac{\pi}{4}$, tức nằm ở góc phần tư thứ I, là điểm chính giữa cung phần tư thứ I (ứng với $45^\circ$).

Toạ độ của $N$:
$$N\left(\cos\dfrac{\pi}{4};\ \sin\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Kiểm tra. $\dfrac{5\pi}{4}$ nằm giữa $\pi$ và $\dfrac{3\pi}{2}$ nên $M$ đúng ở phần tư III (hai toạ độ đều âm). $-\dfrac{7\pi}{4}$ sai khác $\dfrac{\pi}{4}$ một bội của $2\pi$ nên $N$ ở phần tư I (hai toạ độ đều dương). Kết quả phù hợp.

Đáp số