Giải Vận dụng 1 trang 10 SGK Toán 11

Lời giải

Tình huống mở đầu. Một chiếc đu quay hình tròn bán kính $R = 10$ m, tâm $O$ ở độ cao $12$ m so với mặt đất. Ban đầu người ngồi ở điểm $A$ là điểm thấp nhất của vành đu. Đu quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $120^\circ$. Hỏi khi đó người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ có gốc tại tâm $O$ của đu quay, trục $Ox$ nằm ngang, trục $Oy$ hướng thẳng đứng lên trên.

Vì $A$ là điểm thấp nhất của vành đu nên $A$ nằm ngay dưới tâm $O$, cách $O$ một khoảng bằng bán kính:
$$A = (0;\ -10).$$

Tia $OA$ tạo với chiều dương trục $Ox$ một góc lượng giác $-90^\circ$ (tức $270^\circ$).

Khi đu quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $\alpha = 120^\circ$, điểm $A$ di chuyển đến vị trí $M$ sao cho tia $OM$ tạo với chiều dương trục $Ox$ một góc:
$$-90^\circ + 120^\circ = 30^\circ.$$

Do $M$ nằm trên đường tròn bán kính $R = 10$, toạ độ của $M$ là:
$$x_M = 10\cos 30^\circ = 10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\ \text{(m)},$$
$$y_M = 10\sin 30^\circ = 10\cdot\dfrac{1}{2} = 5\ \text{(m)}.$$

Tung độ $y_M = 5$ chính là độ cao của người so với tâm $O$. Do đó độ cao của người so với mặt đất là:
$$h = 12 + y_M = 12 + 5 = 17\ \text{(m)}.$$

Kết luận. Sau khi đu quay được một góc $120^\circ$, người đó ở độ cao $17$ m so với mặt đất.

Đáp số