Giải Bài 6.6 trang 10 SGK Toán 11

Lời giải

a) So sánh $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$.

Vì cơ số $5 > 1$ nên hàm số mũ đồng biến, do đó ta chỉ cần so sánh hai số mũ $6\sqrt{3}$ và $3\sqrt{6}$.

Đưa mỗi số vào trong dấu căn:
$$6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = \sqrt{108}, \qquad 3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{54}.$$

Vì $108 > 54$ nên $\sqrt{108} > \sqrt{54}$, tức là $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$.

Kết hợp với cơ số $5 > 1$, suy ra:
$$5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}.$$

b) So sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Đưa cả hai biểu thức về lũy thừa cùng cơ số $2$.

Vế thứ nhất:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}} = \left(2^{-1}\right)^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}.$$

Vế thứ hai:
$$\sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}} = 2^{\frac{7}{6}}.$$

So sánh hai số mũ: $\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$ và $\dfrac{7}{6}$. Vì $\dfrac{8}{6} > \dfrac{7}{6}$ nên $\dfrac{4}{3} > \dfrac{7}{6}$.

Do cơ số $2 > 1$ (hàm số mũ đồng biến), suy ra:
$$2^{\frac{4}{3}} > 2^{\frac{7}{6}}, \quad\text{tức là}\quad \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}} > \sqrt{2}\cdot 2^{\frac{2}{3}}.$$

Đáp số