Giải Bài 6.5 trang 10 SGK Toán 11

Lời giải

Ta biến đổi từng biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng (hiệu).

Xét $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$:

Ta có $4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2.$

Do đó $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$ (vì $\sqrt{3} + 1 > 0$).

Xét $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$:

Ta có $4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} - 1)^2.$

Do đó $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$ (vì $\sqrt{3} > 1$ nên $\sqrt{3} - 1 > 0$).

Tính hiệu:

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1 = 2.$$

Vậy $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2$ (đpcm).

Đáp số