Giải Bài 6.4 trang 10 SGK Toán 11

Lời giải

a) Điều kiện $x,y>0$ nên mọi lũy thừa đều xác định. Đưa về cùng cơ số lũy thừa bậc $\dfrac16$.

Đặt $u=\sqrt[6]{x}=x^{\frac16}$ và $v=\sqrt[6]{y}=y^{\frac16}$ (với $u,v>0$). Khi đó:

$$x^{\frac13}=u^{2},\quad \sqrt{y}=y^{\frac12}=v^{3},\quad y^{\frac13}=v^{2},\quad \sqrt{x}=x^{\frac12}=u^{3}.$$

Tử số:
$$x^{\frac13}\sqrt{y}+y^{\frac13}\sqrt{x}=u^{2}v^{3}+v^{2}u^{3}=u^{2}v^{2}(v+u)=u^{2}v^{2}(u+v).$$

Mẫu số: $\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}=u+v>0$.

Do đó
$$A=\dfrac{u^{2}v^{2}(u+v)}{u+v}=u^{2}v^{2}=x^{\frac13}y^{\frac13}=(xy)^{\frac13}=\sqrt[3]{xy}.$$

Vậy $A=\sqrt[3]{xy}$.

b) Dùng các quy tắc $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{1}{a^{n}}=a^{-n}$.

*Tính thừa số thứ nhất:*
$$\left(\dfrac{x^{\sqrt3}}{y^{\sqrt3-1}}\right)^{\sqrt3+1}=x^{\sqrt3(\sqrt3+1)}\cdot y^{-(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}.$$

Với số mũ của $x$: $\sqrt3(\sqrt3+1)=3+\sqrt3$.

Với số mũ của $y$: $-(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=-\big((\sqrt3)^{2}-1\big)=-(3-1)=-2$.

Suy ra thừa số thứ nhất bằng $x^{3+\sqrt3}\,y^{-2}$.

*Thừa số thứ hai:*
$$\dfrac{x^{-\sqrt3-1}}{y^{-2}}=x^{-\sqrt3-1}\,y^{2}.$$

*Nhân hai thừa số:*
$$B=x^{3+\sqrt3}\,y^{-2}\cdot x^{-\sqrt3-1}\,y^{2}=x^{(3+\sqrt3)+(-\sqrt3-1)}\cdot y^{-2+2}.$$

Số mũ của $x$: $(3+\sqrt3)+(-\sqrt3-1)=2$; số mũ của $y$: $-2+2=0$.

Do đó $B=x^{2}\cdot y^{0}=x^{2}$.

Vậy $B=x^{2}$.

Đáp số