Giải Luyện tập 5 trang 9 SGK Toán 11

Lời giải

Rút gọn tử số. Áp dụng tính chất $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ và hằng đẳng thức $(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=(\sqrt2)^2-1^2=2-1=1$:

$$\left(a^{\sqrt2-1}\right)^{1+\sqrt2}=a^{(\sqrt2-1)(1+\sqrt2)}=a^{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=a^{1}=a.$$

Rút gọn mẫu số. Áp dụng tính chất $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$:

$$a^{\sqrt5-1}\cdot a^{3-\sqrt5}=a^{(\sqrt5-1)+(3-\sqrt5)}=a^{2}.$$

Lập thương. Áp dụng tính chất $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

$$A=\dfrac{a}{a^{2}}=a^{1-2}=a^{-1}=\dfrac{1}{a}.$$

Kiểm tra lại (với $a>0$): chọn $a=4$, khi đó $A=\dfrac{1}{4}=0{,}25$. Tính trực tiếp: tử $=4^{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=4^{1}=4$; mẫu $=4^{\sqrt5-1}\cdot4^{3-\sqrt5}=4^{2}=16$; vậy $A=\dfrac{4}{16}=0{,}25$. Khớp với kết quả $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{4}$.

Vậy $A=a^{-1}=\dfrac{1}{a}$.

Đáp số