Giải Hoạt động 5 trang 8 SGK Toán 11

Lời giải

a) Dùng máy tính cầm tay, ta tính được (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

$3^{r_1} = 3^{1} = 3$

$3^{r_2} = 3^{1,4} \approx 4,6555$

$3^{r_3} = 3^{1,41} \approx 4,7070$

$3^{r_4} = 3^{1,4142} \approx 4,7287$

$3^{\sqrt{2}} \approx 4,7288$

b) Vì dãy số hữu tỉ $(r_n)$ dùng để xấp xỉ $\sqrt{2}$ ngày càng gần $\sqrt{2}$ khi $n$ càng lớn (tức $r_n \to \sqrt{2}$), nên các giá trị $3^{r_n}$ cũng càng gần $3^{\sqrt{2}}$.

Do đó sai số tuyệt đối $\left|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_n}\right|$ càng nhỏ (dần về $0$) khi $n$ càng lớn. Ta kiểm chứng điều này qua bảng:

| $n$ | $r_n$ | $3^{r_n}$ | $\left\|3^{\sqrt{2}} - 3^{r_n}\right\|$ |
|---|---|---|---|
| 1 | $1$ | $3$ | $\approx 1,7288$ |
| 2 | $1,4$ | $\approx 4,6555$ | $\approx 0,0733$ |
| 3 | $1,41$ | $\approx 4,7070$ | $\approx 0,0218$ |
| 4 | $1,4142$ | $\approx 4,7287$ | $\approx 0,0001$ |

Sai số giảm dần, chứng tỏ $3^{r_n}$ xấp xỉ $3^{\sqrt{2}}$ ngày càng tốt. Chính nhờ tính chất này mà $3^{\sqrt{2}}$ được định nghĩa là giới hạn của dãy $\left(3^{r_n}\right)$.

Đáp số