Giải Luyện tập 2 trang 20 SGK Toán 11

Lời giải

Ta có $\dfrac{\pi}{8}$ là một nửa của $\dfrac{\pi}{4}$, nên áp dụng công thức hạ bậc (hệ quả của công thức nhân đôi $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$):

$$\cos^2\alpha = \dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}.$$

Với $\alpha = \dfrac{\pi}{8}$ thì $2\alpha = \dfrac{\pi}{4}$, do đó

$$\cos^2\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{1+\cos\dfrac{\pi}{4}}{2} = \dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}.$$

Vì $0 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\dfrac{\pi}{8} > 0$, suy ra

$$\cos\dfrac{\pi}{8} = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.$$

Kiểm tra lại: $\sqrt{2}\approx 1{,}414$ nên $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \approx \dfrac{\sqrt{3{,}414}}{2} \approx \dfrac{1{,}848}{2} \approx 0{,}924$, đúng bằng giá trị $\cos 22{,}5^\circ$.

Đáp số