Giải Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán 11

Lời giải

Ý tưởng: Trong các công thức cộng, thay $b = a$ để được công thức tính $\sin 2a$, $\cos 2a$, $\tan 2a$.

a) Công thức tính $\sin 2a$

Từ công thức cộng:
$$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.$$
Thay $b = a$:
$$\sin 2a = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a.$$
Vậy $\boxed{\sin 2a = 2\sin a\cos a}$.

b) Công thức tính $\cos 2a$

Từ công thức cộng:
$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$$
Thay $b = a$:
$$\cos 2a = \cos a\cos a - \sin a\sin a = \cos^2 a - \sin^2 a.$$
Vậy $\boxed{\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a}$.

*Nhận xét:* Dùng hệ thức $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ ta còn viết được:
$$\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a.$$

c) Công thức tính $\tan 2a$

Từ công thức cộng (với điều kiện các biểu thức có nghĩa):
$$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}.$$
Thay $b = a$:
$$\tan 2a = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a\tan a} = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}.$$
Vậy $\boxed{\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}}$ (với $\cos a \neq 0$ và $1 - \tan^2 a \neq 0$).

Đáp số