Giải Vận dụng 1 trang 19 SGK Toán 11

Lời giải

Nhắc lại tình huống mở đầu. Một thiết bị trễ kĩ thuật số nhận nốt thuần $f_1(t)=5\sin t$ và phát lại nốt $f_2(t)=5\cos t$. Âm kết hợp là
$$f(t)=f_1(t)+f_2(t)=5\sin t+5\cos t.$$
Ta cần chứng tỏ $f(t)$ viết được dưới dạng $f(t)=k\sin(t+\varphi)$ và tìm biên độ $k>0$, pha ban đầu $\varphi$ với $-\pi\le\varphi\le\pi$.

Biến đổi. Áp dụng công thức cộng:
$$k\sin(t+\varphi)=k\big(\sin t\cos\varphi+\cos t\sin\varphi\big)=(k\cos\varphi)\sin t+(k\sin\varphi)\cos t.$$
Để $f(t)=5\sin t+5\cos t=k\sin(t+\varphi)$ với mọi $t$, đồng nhất hệ số của $\sin t$ và $\cos t$:
$$\begin{cases}k\cos\varphi=5\\ k\sin\varphi=5.\end{cases}$$

Tìm biên độ $k$. Bình phương rồi cộng hai vế:
$$k^2\cos^2\varphi+k^2\sin^2\varphi=5^2+5^2\ \Rightarrow\ k^2=50\ \Rightarrow\ k=\sqrt{50}=5\sqrt2\quad(k>0).$$

Tìm pha ban đầu $\varphi$. Thay $k=5\sqrt2$ vào hệ:
$$\cos\varphi=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}>0,\qquad \sin\varphi=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}>0.$$
Vậy $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ (thỏa mãn $-\pi\le\varphi\le\pi$).

Kết luận.
$$f(t)=5\sqrt2\,\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right).$$
Âm kết hợp là một sóng âm hình sin có biên độ $k=5\sqrt2\approx 7{,}07$ và pha ban đầu $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$.

Kiểm tra lại.
$$5\sqrt2\,\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)=5\sqrt2\left(\sin t\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos t\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=5\sin t+5\cos t=f(t).$$

Đáp số