Giải Luyện tập 1 trang 19 SGK Toán 11

Lời giải

a) Chứng minh $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Xét vế phải, áp dụng công thức $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$:

$$\sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4} - \cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right).$$

Vì $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên:

$$\sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right) = \sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) = \sin x - \cos x.$$

Vậy $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ (đpcm).

b) Chứng minh $\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ với $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ x \neq \dfrac{3\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$.

Với điều kiện đã cho, các biểu thức đều xác định. Áp dụng công thức $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a\tan b}$ với $a = \dfrac{\pi}{4}$, $b = x$:

$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan\dfrac{\pi}{4}\cdot\tan x}.$$

Vì $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$ nên:

$$\tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}.$$

Vậy đẳng thức được chứng minh (đpcm).

Đáp số