Giải Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán 11

Lời giải

a) Với $a = \dfrac{\pi}{3}$ và $b = \dfrac{\pi}{6}$, ta có $a - b = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6}$.

Vế trái: $\cos(a - b) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Vế phải:
$$\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{6} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

Vậy vế trái bằng vế phải, tức là $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ (đpcm).

b) Viết $a + b = a - (-b)$ rồi áp dụng công thức ở HĐ1a với $b$ thay bởi $-b$:
$$\cos(a + b) = \cos\big[a - (-b)\big] = \cos a\cos(-b) + \sin a\sin(-b).$$

Vì $\cos(-b) = \cos b$ và $\sin(-b) = -\sin b$ nên:
$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.$$

c) Ta có:
$$\sin(a - b) = \cos\left[\dfrac{\pi}{2} - (a - b)\right] = \cos\left[\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) + b\right].$$

Áp dụng công thức $\cos(x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y$ vừa thiết lập ở HĐ1b với $x = \dfrac{\pi}{2} - a$, $y = b$:
$$\sin(a - b) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\cos b - \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right)\sin b.$$

Mà $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \sin a$ và $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos a$, do đó:
$$\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.$$

Đáp số