Giải Mở đầu trang 18 SGK Toán 11

Lời giải

Phân tích. Ta cần viết $f(t) = 5\sin t + 5\cos t$ về dạng $f(t) = k\sin(t+\varphi)$.

Khai triển dạng cần có. Áp dụng công thức cộng:
$$k\sin(t+\varphi) = k(\sin t\cos\varphi + \cos t\sin\varphi) = (k\cos\varphi)\sin t + (k\sin\varphi)\cos t.$$

Đồng nhất hệ số với $f(t) = 5\sin t + 5\cos t$, ta được:
$$\begin{cases} k\cos\varphi = 5 \\ k\sin\varphi = 5. \end{cases}$$

Tìm biên độ $k$ (với $k>0$). Bình phương rồi cộng hai vế:
$$k^2\cos^2\varphi + k^2\sin^2\varphi = 5^2 + 5^2,$$
$$k^2(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = 50 \;\Rightarrow\; k^2 = 50 \;\Rightarrow\; k = 5\sqrt{2}.$$

Tìm pha ban đầu $\varphi$. Thay $k = 5\sqrt{2}$:
$$\cos\varphi = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0, \qquad \sin\varphi = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} > 0.$$
Vì $\cos\varphi > 0$ và $\sin\varphi > 0$ nên $\varphi$ thuộc góc phần tư thứ nhất; kết hợp $-\pi \le \varphi \le \pi$ ta được $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$.

Kết luận. Âm kết hợp viết được dưới dạng sóng âm hình sin:
$$f(t) = 5\sqrt{2}\,\sin\!\left(t + \dfrac{\pi}{4}\right).$$
Vậy âm kết hợp đúng là một sóng âm hình sin với biên độ $k = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ và pha ban đầu $\varphi = \dfrac{\pi}{4}$ (đpcm).

Kiểm tra lại. Khai triển ngược: $5\sqrt{2}\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right) = 5\sqrt{2}\left(\sin t\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos t\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 5\sin t + 5\cos t = f(t)$ — đúng.

Đáp số