Giải Luyện tập 7 trang 15 SGK Toán 11

Lời giải

Xác định dấu của các giá trị lượng giác.

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin\alpha < 0$ (và $\tan\alpha > 0$, $\cot\alpha > 0$).

a) Tính $\sin\alpha$.

Ta có $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, suy ra
$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}.$$

Vì $\sin\alpha < 0$ nên
$$\sin\alpha = -\sqrt{\dfrac{5}{9}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$$

b) Tính $\tan\alpha$.

$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{-\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$$

c) Tính $\cot\alpha$.

$$\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$

Kiểm tra: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9} = 1$ (đúng); các giá trị đều mang dấu phù hợp với góc phần tư thứ III.

Đáp số