Giải Bài 6.12 trang 16 SGK Toán 11

Lời giải

a) Áp dụng công thức đổi cơ số $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, ta viết mỗi thừa số về cùng một cơ số (chẳng hạn cơ số $10$ hay lôgarit tự nhiên), rồi rút gọn:

$$A = \frac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 4}{\ln 3}\cdot\frac{\ln 5}{\ln 4}\cdot\frac{\ln 6}{\ln 5}\cdot\frac{\ln 7}{\ln 6}\cdot\frac{\ln 8}{\ln 7}.$$

Các tử số và mẫu số lần lượt triệt tiêu nhau (rút gọn dây chuyền), chỉ còn lại:

$$A = \frac{\ln 8}{\ln 2} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3.$$

Vậy $A = 3$.

b) Ta có $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n$, tức là tích các lôgarit cơ số $2$ của $2^1, 2^2, \ldots, 2^n$.

Áp dụng $\log_2 2^k = k$ cho từng thừa số:

$$\log_2 2 = 1,\quad \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2,\quad \ldots,\quad \log_2 2^n = n.$$

Do đó:

$$B = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n = n!.$$

Vậy $B = n!$.

Đáp số