Giải Bài 6.11 trang 16 SGK Toán 11

Lời giải

a) Rút gọn $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 - \log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5}$.

Ta đưa tất cả về lôgarit cơ số $3$ bằng công thức $\log_{a^\alpha} b = \dfrac{1}{\alpha}\log_a b$:

- $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = \dfrac{1}{-1}\log_3 5 = -\log_3 5$.

- $2\log_9 25 = 2\log_{3^2} 5^2 = 2\cdot\dfrac{2}{2}\log_3 5 = 2\log_3 5$.

- $\log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{-1} = \dfrac{-1}{\frac{1}{2}}\log_3 5 = -2\log_3 5$.

Do đó:
$$A = -\log_3 5 + 2\log_3 5 - (-2\log_3 5) = (-1 + 2 + 2)\log_3 5 = 3\log_3 5.$$

Vậy $A = 3\log_3 5 = \log_3 5^3 = \log_3 125$.

b) Rút gọn $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$ (với $0 < a \ne 1,\ M > 0$).

- $\log_a M^2 = 2\log_a M$.

- $\log_{a^2} M^4 = \dfrac{1}{2}\log_a M^4 = \dfrac{1}{2}\cdot 4\log_a M = 2\log_a M$.

Do đó:
$$B = 2\log_a M + 2\log_a M = 4\log_a M.$$

Vậy $B = 4\log_a M = \log_a M^4$.

Đáp số