Giải Bài 6.10 trang 15 SGK Toán 11

Lời giải

a) Áp dụng các quy tắc $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ và $\ln a - \ln b = \ln\dfrac{a}{b}$:

$$A = \ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2-1).$$

Gộp hai lôgarit đầu:

$$\ln\left(\dfrac{x}{x-1}\right) + \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right) = \ln\left(\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{x+1}{x}\right) = \ln\dfrac{x+1}{x-1}.$$

Khi đó, chú ý $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$$A = \ln\dfrac{x+1}{x-1} - \ln\big[(x-1)(x+1)\big] = \ln\dfrac{\frac{x+1}{x-1}}{(x-1)(x+1)} = \ln\dfrac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}.$$

Rút gọn:

$$A = \ln\dfrac{1}{(x-1)^2}.$$

b) Áp dụng $\log_a b^\alpha = \alpha\log_a b$, với $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$:

$$21\log_3\sqrt[3]{x} = 21\log_3 x^{1/3} = 21\cdot\dfrac{1}{3}\log_3 x = 7\log_3 x = \log_3 x^7.$$

Với hai số hạng còn lại:

$$\log_3(9x^2) - \log_3 9 = \log_3\dfrac{9x^2}{9} = \log_3 x^2.$$

Do đó:

$$B = \log_3 x^7 + \log_3 x^2 = \log_3\big(x^7\cdot x^2\big) = \log_3 x^9.$$

Kiểm tra: $\log_3 x^9 = 9\log_3 x$, đúng bằng $7\log_3 x + 2\log_3 x$.

Đáp số