Giải Hoạt động 3 trang 12 SGK Toán 11

Lời giải

a) Đặt $y = \log_a M$.

Theo định nghĩa của lôgarit, đẳng thức $y = \log_a M$ tương đương với:

$$M = a^y.$$

Vậy $M = a^y$.

b) Lấy lôgarit theo cơ số $b$ cả hai vế của đẳng thức $M = a^y$, ta được:

$$\log_b M = \log_b\left(a^y\right).$$

Áp dụng công thức lôgarit của một lũy thừa ($\log_b a^y = y\log_b a$), vế phải trở thành:

$$\log_b M = y\,\log_b a.$$

Vì $a \ne 1$ và $a > 0$ nên $\log_b a \ne 0$, do đó chia cả hai vế cho $\log_b a$:

$$y = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}.$$

Mặt khác $y = \log_a M$, nên ta suy ra công thức đổi cơ số:

$$\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}.$$

*Kiểm tra:* Với $a = 2,\ b = 10,\ M = 8$: vế trái $\log_2 8 = 3$; vế phải $\dfrac{\log 8}{\log 2} = \dfrac{0,903}{0,301} \approx 3$. Hai vế bằng nhau, công thức đúng.

Đáp số