Giải Bài 1.12 trang 22 SGK Toán 11

Lời giải

a) Chứng minh công thức.

Theo giả thiết, diện tích tam giác $ABC$ được tính bởi
$$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C.$$

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$:
$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \;\Rightarrow\; b = \dfrac{a\sin B}{\sin A}.$$

Thay $b = \dfrac{a\sin B}{\sin A}$ vào công thức diện tích:
$$S = \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{a\sin B}{\sin A}\cdot \sin C = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}.$$

Vậy $S = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$ (đpcm).

b) Tính diện tích $S$.

Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$ nên
$$\widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ.$$

Do đó $\sin A = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Với $a = 12$ cm, áp dụng kết quả câu a:
$$S = \dfrac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A} = \dfrac{12^2\cdot \sin 75^\circ\cdot \sin 45^\circ}{2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{144\,\sin 75^\circ\sin 45^\circ}{\sqrt{3}}.$$

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:
$$\sin 75^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2}\big[\cos(75^\circ-45^\circ) - \cos(75^\circ+45^\circ)\big] = \dfrac{1}{2}\big(\cos 30^\circ - \cos 120^\circ\big).$$

Mà $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$, nên
$$\sin 75^\circ\sin 45^\circ = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}+1}{4}.$$

Suy ra
$$S = \dfrac{144}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+1}{4} = \dfrac{36(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}} = \dfrac{36(\sqrt{3}+1)\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 12(3+\sqrt{3}) = 36 + 12\sqrt{3}.$$

Vậy $S = 36 + 12\sqrt{3} \approx 56{,}78\ (\text{cm}^2).$

Đáp số